Álgebra de conmutación ( booleana )

Las técnicas de análisis formal para los circuitos digitales tienen sus raíces en el trabajo de un matemático ingles   , George Boole. En 1854, el invento un sistema algebraico de dos valores, que ahora se conoce con el nombre de álgebra de conmutación, para dar expresión a las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simbólico del calculo .

Mucho después de Bolee, en 1938, el investigador de los laboratorios Bell, Claude E. Shannon, demostró como se podía adaptar el álgebra de conmutación para analizar y describir el comportamiento de los circuitos que se construyeron a partir de Relevadores. Los relevadores fueron los elementos lógicos digitales que se utilizaron con mayor frecuencia en ese momento, en la obra Álgebra de conmutación de shannon, el estado de los contactos (platinos) de un relevador, abierto o cerrado, esta representado por una variable X, que puede tener uno o dos valores posibles, 0 o 1. En las tecnologías lógicas de la actualidad, estos valores corresponden a una amplia variedad de condiciones físicas:
voltaje ALTO o BAJO, luz apagada o encendida, capacitor descargado o cargado, fusible fundido o intacto, y así sucesivamente

AXIOMAS

En el álgebra de conmutación utilizamos una variable simbólica , ejemplo X para representar la condición de una señal lógica. una señal lógica se encuentra en una de dos posibles condiciones: bajo o alto, apagado o encendido. así podemos decir que X tiene un valor 0 o un valor 1, 

• En convención de lógica positiva se dice que 0 corresponde a BAJO y 1 a ALTO
• En convención de lógica negativa se dice que 0 corresponde a ALTO y 1 a BAJO 

Los axiomas ( postulados ) de un sistema matemático son un conjunto mínimo de definiciones básicas que suponemos verdaderas, a partir de estas definiciones se obtiene información adicional del sistema. los primeros dos axiomas del álgebra de conmutación expresan "abstracción digital" al establecer formalmente que una variable X solamente puede tomar uno de dos valores :

                             (A1) X = 0 si X =/ 1                                  (A1)' X = 1 si X =/ 0

                             (A2) si X = 0, entonces X' = 1                   (A2)' si X = 1, entonces X' = 0

                             (A3) 0.0 = 0                                               (A3)' 1 + 1 = 1

                             (A4) 1.1 = 1                                               (A4)' 0 + 0 = 0

                             (A5) 0.1 = 1.0 = 0                                      (A5)' 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Ejemplo de axiomas en las 3 principales compuertas:

Los cinco pares de axiomas, A1 - A5 y A1' - A5' definen completamente el álgebra de conmutación 

Teorema de una sola variable

Teorema de dos o mas variables